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第142章 别出一格的解法（第2页）

设有正整数a及b满足（a2+b2）（ab+1）=k，其中k不是平方数，我们将制造出一个矛盾去证明这是不可能的，所以k必为平方数。

在众多组满足条件的正整数a、b中，必有一组的和是最小的，我们设它为a1与b1。由于把a1与b1互换，也不会影响（a12+b12）（a1b1+1）的值，所以我们不妨假设a1＞=b1。

将a1与b1代入上面的式子得到......

a1是一元二次方程x2-kb1x+（b12-k）=0的一个根，设方程的另一个根为a2。根据韦达定理，我们得到......

由此进一步得到a2需要满足的条件。

根据（1），a2必为整数。

根据（2），a2不可能是0，因为k不是平方数，b12-k不可能是0。

k是正整数，b1是正整数，（a22+b12）（a2b1+1）=k，显然a2不可以是负数。

根据上方假设过a1＞=b1，因此根据（2），a2必定小于a1。

综上所述，我们有一小于a1的正整数a2，令（a22+b12）（a2b1+1）=k，其中k不是平方数。

a2与b1是满足（a2+b2）（ab+1）=k（其中k不是平方数）的一组解，但它们的和比a1与b1小，“没有最小，只有更小”。

之前已经假设a1与b1的和是众多组解中最小的，这样就产生矛盾了。

因此证明，如果正整数a，b满足ab+1可以整除a2+b2，（a2+b2）（ab+1）必定是平方数！”

洋洋洒洒，十分钟不到的功夫，陆天已经将手下一整张A4纸写的密密麻麻，几乎全是数字。

“我证明完了！”

陆天说着话，回头一看，映入眼帘的，就是一张激动的不可自抑的老脸。

吴老激动坏了！

他真的激动坏了！

这个小陆，真的是天才，完完全全的数学天才！

思维开阔，想象力丰富。

整篇的论证下来，几乎都是高中的数学知识！

“有希望了啊！有希望了啊！”

吴老心中呢喃，这么多年了，他总算是看到京城大学数学系有超越水木大学的希望了！

小李没有说错，不，还是说错了！

吴老心中那个激动啊，这个小陆同学，哪止是给京城大学加五成的胜率啊！

小李还是低估了！

九成！！

在吴老看来，有陆天在，京城大学在这次的国际数学竞赛中，至少有九成的概率夺得冠军！

而只要冠军一拿，在今年的全国高校专业评比中，京城大学是极有可能反超水木大学，数学专业成为全国第一！

“呃，吴老，我做的对吗？”

见到面前的小老头一直笑着不说话，陆天都有点懵了。

您笑的我害怕！

他知道自己长得帅，可这小老头脸上都笑成了一朵花了是怎么回事？

自己的魅力有这么大吗？

“咳咳！”

听到陆天的声音，吴老也迅速反应了过来，尴尬一笑，“对！证明思路都是对的！恭喜你，小陆同学！”

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