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第78章Krylov空间矩阵81（第2页）

“我看看。”老陆闻言连忙探过头看了一眼，“嗯，还真是，这孩子倒真是对数学爱的纯粹，来我家里也不忘钻研数学。”

语气间对萧然一万個满意。

“还真让你捡到宝了。”老刘酸溜溜地说道，神色间说出去的羡慕。

老陆得意地摆了摆手，故作矜持道：“以我的水平估计也只能再教他两三年的时间，到那时他想要在数学上取得突破，就要靠他自己的造化了。”

“行了行了，装给谁看呢！”老刘笑骂一声，接着又低下头看了眼萧然的草稿，若有所思：“你觉得萧然能不能解出这道题？”

老陆闻言也仔细看了眼萧然列出的各种行列式，皱了皱眉头：“这道题有点怪，它的元素满足的是稀疏高斯分布，而要证明结果要满足的却是高斯分布，这意味着我们需要一个工具建立这两者之间的联系......”

“可这个工具到底该用什么，说实话，我也只有一些粗浅的想法，我想的是使用Markov不等式估计概率，这主要是利用到联合高斯分布的性质是服从联合高斯分布的两个独立向量的和，依然服从联合高斯分布，但这之后，我并不确定高斯分布替换成均匀分布或者伯努利分布之后还能否得到多项式界......”

“另外，这道题的难点主要在于如何估计这个随机矩阵的最小奇异值，而想要估计随机矩阵的最小奇异值，最主要的难点是如何突破随机矩阵理论中元素之间的独立性，如果无法解决这一步，这道题的证明也就无从谈起。”

随机矩阵理论起源于对物理模型的研究，人们在早期实验中发现，一些大型随机矩阵的特征值与奇异值的分布常常趋近于某些特定的分布，并由此提出了如半圆律、圆律与Marchenko-Pastur律之类关于极限分布的定律。

这些定律的假设和结论类似于经典概率论里的中心极限定理（即大量相互独立的随机数之和的分布常常趋近于正态分布），这需要假设矩阵元素除了特定结构以外相互独立，再让维度趋于无穷。

尽管如此，极限毕竟是极限，从不等式估计的角度来看，用起来还是不太顺手的。

大约从上世纪80年代末开始，人们开始研究非渐进意义下的奇异值的估计，其中最核心的部分就是对于最小奇异值的估计。

随机矩阵的发展也从一开始首先处理了独立同分布的矩阵元素服从高斯分布的情形，逐渐放松要求，开始不要求高斯分布，不要求同分布，并且得到了越来越精准的估计。

但这其中最难放松的条件依旧是独立性，这要求，一是改成要求矩阵的各行相互独立。

二是要求矩阵有额外的结构，如对称性，而除此以外相互独立。

三是要求矩阵元素之间的相关性随在矩阵中的位置的距离而指数级衰减......

“从萧然的草稿上来看，他似乎使用的是VC-维数对示性函数应用熵方法，但这对最小奇异值的要求更加严格，在这种条件下他使用熵方法恐怕不能得到有效的结果......”

“除非他能找到一个工具来估计VC-维数并绕过熵方法......”

老陆越看，眉头皱的越紧。

抬起头，他问道：“老刘，你是从哪找到的这么个难题？”

老刘有些不好意思地笑道：“这是今年菲尔兹奖的得主在上个月的国际数学家大会上做报告时，偶然提出的一个问题，我当时对这个问题有些感兴趣，就拿了过来，准备借这个问题发一篇SCI论文。”

说着，他叹了口气，无奈道：“可是研究了半天，依旧无法解决这其中各元素之间独立性的问题，这时我才想到你，伱在随机矩阵方面的研究比我深一点，想着看你有什么办法给我提供点灵感。”

“结果发现，算是白来了！”老刘说着白了老陆一眼，悠悠道：“算了，我还是自己回去研究吧。”

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