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数学家巴协对中国的道士聊天说:“我听说,中国有个幻方?是“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来,得到九个。这九个数就可以组成一个纵横图,人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方。这个洛书是怎么来的?”
道士说:“流传中国夏禹治水时,黄河中跃出一匹神马,马背上驮着一幅图,人称「河图」;又洛水河中浮出一只神龟,龟背上有一张象征吉祥的图案称为「洛书」.”
巴协说:“你们那个是三阶幻方,除此之外,还有4阶、5阶...后来,得出计算任意阶数幻方的各行、各列、各条对角线上所有数的和的公式为:S=n(n^2+1)2。其中n为幻方的阶数,所求的数为S.”
道士说:“没错,多种幻方就是这样变化的。”
巴协问道士:“幻方看起来恩有数学范儿,但除此以外有什么用呢?”
道士说:“可以震住妖怪。”
巴协说:“只是一堆数字而已,如何震住妖怪。”
道士说:“因为幻方这个图案每一列,每一行及对角线,加起来的数字和都是一样的,体系了一种和谐与对称。这种神奇的高度的对称与和谐,可以把不和谐的妖气给振跑。”
巴协说:“听起来很牵强的样子。还会有其他的用途吗?”
道士说:“幻方跟八卦阵有关系。”
巴协说:“我也知道跟八卦阵有关,幻方的数字对应八卦阵上的休,生,伤,杜,景,死,惊,开八门。但是八卦阵又有什么用?”
道士说:“八卦阵当然有军事上的用途了,你刚刚也说了有八门,功能各自不同。”
巴协说:“那是故弄玄虚的,根本没用。打仗不会排出那么傻的阵型。”
道士说:“打仗如果不布阵,那一定会失败。古代打仗胜负往往并不取决的双方伤亡的绝对数量,而是士兵的士气,当一方绝大多数部队陷入恐惧,失去了继续厮杀的勇气,也就宣告了他们的失败。而人是盲目的,所谓勇气,很多时候是依赖于身边是否有站立的战友,我方是否能够保持完整的阵容。只要一个战阵依然完整,哪怕被重重围困,身边的将士也能给士兵以继续作战的激励。”
巴协说:“说得没错,但是这个八卦阵有关系吗?只要排成普通的阵列不就可以了?”
道士说:“而对于战阵,说是靠在一起,其实不然。可以想象,一旦双方步卒战线平平地对击,面对面的厮杀,过分紧密的队形将导致我方兵器无法有效挥舞,而对手的长戈却有机会作到一击数人。因此,所谓完整的阵容,其实是松散的。”
巴协说:“那就布成一个松散的阵列也可以了。”
道士说:“但这也给了马军以可乘之机。马上骑兵相对于步卒拥有压倒性的优势,很大程度上是由于其一往无前的气势、强大的冲击力对于战线的破坏性。正统的战法,即所谓“冲阵”,是百骑齐发,在正面从多个点冲破对方战线,直抵阵后,再勒马回身反向冲击。这种反复冲击的作用并不在于杀伤,而是使对方任何两个士兵之间的联系随时有被匹马截断的危险,使单个的步卒产生孤立无援的错觉,在整体上将完整的队形破坏为一盘散沙。加之骑兵冲锋时有如镰刀割麦,极高的速度造成巨大的能量,单独的步兵一旦正面被撞,不会有任何格挡或反击的机会。这种死亡的恐惧在孤独感的作用下会越发显着,从而导致个体失去战意,进而发展为群体的溃败。”
巴协想了想也确实如此。
道士继续说:“让我们总结一下。骑方的手段,是在敌阵前后两端之间来回冲击;目的,是造成恐慌和混乱。步方的劣势,是无法兼顾安全性与机动性,无法与骑方堂堂正正地对决。”
巴协说:“所以,八卦阵可以保证步兵可以合理的抵挡骑兵吗?”
道士说:“没错,所谓八卦阵,实际上是一种经过事先针对性训练的,步卒应对马军的手段。在对方冲击时,有意识地在战线的某些位置让出真空,引诱骑方下意识地集中向这些路线行进。待其杀入阵中之后,我阵虽破却不散,一路上在两边集结固守,让出前方空间任由敌人冲刺。阵势的核心在于:这种路径可以通过事先操演确定,通过有意识地引导,让对方本来是战阵两端的直线冲杀,变成我方主导下的,在阵内的环型路线!连续不断地接触,无穷无尽的敌人,将会逐步消耗马军的气势和体力。而由于马军自身的特性,他们又不得不按照这条“安全”的路线冲锋。所谓“强弩之末不能穿鲁缟”,随着时间的推移,阵内的敌军最终会被逐渐消耗一空。”
巴协说:“其实八卦阵不重要,也就是一种只会调度的方式,那跟幻方有关系吗?”
道士说:“当然了,幻方因为书阵型里高度对称的,所以不会有任何一个地方上力量的减弱。而数字上的不同也可以发挥八门的各种不同的优势,这就是幻方的用途。”
1612年,巴协(Bachet)出版了关于数学谜题和技巧的着作,这将成为几乎所有后来有关数学娱乐的书籍的基础。他设计了一种构建幻方的方法。幻方的幻在于无论取哪一条路线,最后得到的和或积都是完全相同的。
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